Slide Kuliah Geometri Diferensial dan Catatan Kuliah Geometri dan Simulasi dan Komputasi Matematika

Ini slide Simulasi dan Komputasi Matematika

1. Konvergensi konvergen

2. Harmonik harmonik

Ini slide kuliah Geometri

1. Bab 1 bukuc

Slide Geometri Diferensial (Berdasarkan buku oleh Theodore Shifrin)

1.   Lengkungan  bab02_lokal

2. Permukaan reguler bab05_perm

3. Pemetaan Gaus bab06_gauss

4. Persamaan Codazzi dan Gauss bab07_codaz

5. Turunan kovarian dan geodesik bab08_Covariant

Mengapa e=2,718… disebut sebagai bilangan pokok logaritma alami

Jika mahasiswa bertanya, mengapa e merupakan bilangan pokok dari logaritma
alami, maka umumnya kita berfikir bahwa e mempunyai sifat yang luar biasa
yang berkaitan sifat fungsi y=\ln \left( x\right) dan inversnya y=e^{x}. Kedua fungsi mempunyai sifat luar biasa dalam penurunan fungsi maupun integral. Khususnya, turunan fungsi y=\log_a x dan y=a^x, masing-masing adalah \frac{1}{x \ln a} dan a^x \ln a. Rumus ini menjadi lebih sederhana jika a=e.

Tetapi kalau kita menyelidiki lebih jauh tentang cara menghitung logaritma, maka kita menyadari bahwa e memang merupakan bilangan pokok logaritma alami, tidak hanya karena sifat penurunan fungsi logaritma dan eksponen melainkan juga berkaitan dengan perhitungan logaritma. Oleh karena itu penulisan \ln sering diartikan sebagai logaritma natural, tetapi juga sebagai logaritma Napier (1550 — 4 April 1617, http://en.wikipedia.org/wiki/John_Napier) yang menemukan hal ini. Catatan ini mencoba mengungkapkan hal tersebut.

Di Sekolah Menengah Atas kita sudah belajar tentang logaritma, yaitu
penulisan bilangan berpangkat g^{a}=x ditulis sebagai \log _{g}a=x.
Dengan logaritma, menghitung perkalian diubah menjadi penjumlahan, tetapi
disertai dengan daftar logaritma. Di sekolah menengah, umumnya bilangan
pokok yang diambil adalah g=10 sesuai dengan sistem bilangan yang dipakai,
yaitu sistem puluhan. Dengan bilangan pokok tersebut, bilangan yang mudah dihitung
logaritmanya adalah 10,100,1000,\ldots yang masing-masing mempunyai nilai
1,2,3,\ldots .Tetapi banyak sekali bilangan yang tidak mudah dihitung
logaritmanya, misalkan \log _{10}2, \log _{10}3, \ldots dan masih
banyak bilangan di antara 10 dan 100 yang tidak mudah dihitung nilai
logaritmanya.

Untuk menghitung \log _{10}2, kita harus menghitung pangkat dari 10
sehingga memberikan hasil sama dengan 2. Hal ini tidak mudah karena hasilnya adalah bilangan pecahan atau bahkan irasional. Tentu sangat sulit.

Perhitungan akan lebih mudah jika hanya sekedar menghitung dengan
perkalian atau pangkat dengan bilangan asli, bukan mencari pangkat seperti
di atas. Oleh karena itu John Napier (1550-1617) mengusulkan bilangan pokok,
disekitar 1 sehingga logaritma dari suatu bilangan dapat dicari dengan perkalian dari bilangan pokok tersebut. Misalkan bilangan pokok diambil 1,1, maka dengan
menghitung pangkat dari bilangan tersebut diperoleh
1,1^{2} =1,21;  1,1^3=1,331;   1,1^{4} =1,4641;  1,1^{5} =1,6105  dan seterusnya.

Sekarang, misalkan kita menginginkan nilai logaritma dari 2, maka kita
harus mencari a sehingga 1,1^{a}=2. Dalam hal ini  1,1^7 =1,9487;   1,1^{8} = 2,1436.
Berdasarkan hasil ini ternyata a bukan merupakan bilangan bulat. Jika kita
menggunakan penghampiran linear. Karena \log _{1,1}1,9487=7 dan \log  _{1,1}2,1436=8, dengan menentukan persamaan garis melalui B\left(  1,9487;7\right) dan A\left( 2,1436;8\right) , dan menghitung nilai di x=2, maka kita memperoleh nilai \log _{1,1}2=7,2632. (Pada grafik, garis
dan grafik logaritma tersebut berimpit).

log

logzoom

Dengan bilangan pokok tersebut, nilai logaritma yang diperoleh sangat besar. Agar hasil logaritma cukup kecil, seperti halnya dengan bilangan pokok 10, kita membagi hasil tersebut dengan 10. Hasilnya

0,72632=\frac{7,2632}{10}=\frac{\log _{1,1}2}{\log _{1,1}1,1^{10}}=\log_{1,1^{10}}2=\log _{\left( 1+\frac{1}{10}\right) ^{10}}2

Ternyata, agar hasil logaritma 2 kurang dari 1, maka bilangan pokok logaritma
tersebut haruslah \left( 1+\frac{1}{10}\right) ^{10}.

Dengan menggunakan bilangan pokok tersebut, masih banyak bilangan yang tidak
dapat dihitung nilai logaritmanya, misalkan saja 1,01; $latex1,02$; dan
bilangan lain yang lebih kecil dari 1,1. Oleh karena itu perlu dicoba bilangan pokok
yang lebih kecil lagi, misalkan 1,01=1+\frac{1}{100}. Dengan menghitung
berkali-kali, maka diperoleh 1,01^{69} =1,9869  1,01^{70} =2, 0068

Sekali lagi dengan penghampiran linear, kita akan memperoleh \log  _{1,01}2=69,658. Sekali lagi, hasil ini terlalu besar. Dengan melakukan
hal yang sama dengan sebelumnya, maka akan diperoleh
\log _{1,01^{100}}2=0,69658
yaitu menggunakan bilangan pokok \left( 1+\frac{1}{100}\right) ^{100}.

Proses di atas, secara teori tentu dapat diperumum sehingga bilangan pokok
logaritma diambil
\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
dengan n sangat besar. Kita mengetahui bahwa \lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}=e=2,71828\ldots
dan bilangan inilah yang dipakai sebagai bilangan pokok.

Tentu saja dalam perhitungan, kita tidak memerlukan sampai dengan e.
Untuk menghitung \ln 2 benar sampai dua angka, kita cukup menghitung
dengan bilangan pokok 1,01 atau 1,001. Sebagai catatan
1,001^{693} =1.99901334...  1,001^{694} =2,01236
Sehingga \ln 2=0,69... sudah merupakan angka yang tidak akan berubah lagi.
Persoalannya sekarang bagaimana menghitung 1,001^{693} apakah harus
mengalikan 693 kali? Bisa lebih cepat?

Cara yang lebih sederhana dengan menghitung 1,001^{2},  1,001^{4}=1,001^{2}\times  1,001^{2}, 1,001^{8}=1,001^{4}\times 1,001^{4}, 1,001^{16}, 1,001^{32}
, dan seterusnya.

Apa bilangan e itu?

Untuk n\in \mathbb{N}, nilai dari \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} =1+C_{1}^{n}\frac{1}{n}+C_{2}^{n}\frac{1}{n^{2}}+C_{3}^{n}\frac{1}{n^{3}}+\ldots

\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} =1+\frac{n!}{1!\left( n-1\right) !}\frac{1}{n}+\frac{n!}{2!\left(n-2\right) !}\frac{1}{n^{2}}+\frac{n!}{3!\left( n-3\right) !}\frac{1}{n^{3}}

\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n} =1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}\left( 1-\frac{1}{n}\right) +\frac{1}{3!}\left( 1-\frac{2}{n}\right) \left( 1-\frac{1}{n}\right) +\ldots

Untuk n\rightarrow \infty , nilai dari
e=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots
karena 0!=1.

Nilai e ini memenuhi

2 < e <2+\frac{1}{2!}\left( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots \right)

e <2 +\frac{1}{2!} \left( 1 +\frac{1}{3} +\frac{1}{3^2} +\ldots \right)=2+\frac{3}{4}<3

Tetapi bilangan e ini merupakan bilangan irasional. Hal ini dapat dilihat
dengan cara kontradiksi. Misalkan e merupakan bilangan rasional, misalkan

e=\frac{p}{q} dengan q\neq 1, maka \frac{p}{q} =\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots

\frac{p}{q} =\left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\ldots +\frac{1}{q!}\right) +\left(\frac{1}{\left( q+1\right) !}+\ldots \right)

Dengan mengalikan q! pada kedua ruas, maka
q!\frac{p}{q}=q!\left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\ldots +\frac{1}{q!}\right)  +q!\left( \frac{1}{\left( q+1\right) !}+\ldots \right)
Ruas kiri merupakan bilangan bulat, demikian pula suku pertama di ruas kanan,
tetapi suku kedua di ruas kanan lebih kecil dari 1:
0 < \frac{1}{q+1}+\frac{1}{\left( q+1\right) \left( q+2\right) }+\ldots

<\frac{1}{q}+\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{q^{3}}+\ldots =\frac{\frac{1}{q}}{1-  \frac{1}{q}}=\frac{1}{q-1}\leq 1
Hal ini kontradiksi dengan kesamaan antara bilangan bulat.

Sebagai catatan: saat ini untuk menghitung nilai
\ln 2=\int_{1}^{2}\frac{1}{t}dt
dengan menghampiri luas daerah berikut%
luas02
dan dapat dihitung sebagai melalui penghampiran luas berikut%
luas03

Contoh Aktivitas: Gambaran Menghitung Cepat

Matematika biasanya dikenal sebagai ilmu yang berkaitan dengan bilangan dan bentuk. Saat ini tentu sudah tidak benar lagi. Di tingkat lebih tinggi lagi, penggunaan matematika sudah sangat luas. Mulai dari judi, sport, music sampai dengan teknologi tinggi.

Tulisan kali ini saya akan mencoba mengangkat kemampuan matematika dalam menebak seperti halnya dengan perhitungan cepat pada pemilihan umum. Kegiatan ini dapat dilakukan di SD, sampai dengan SMA. Misalkan masukan 5 bola ping pong, atau angka yang lain, dan sebagian diberi tanda kuning atau beli bola ping pong warna kuning dan putih ke dalam bungkus yang kedap mata.

Selanjutnya setiap anak diminta untuk mengambil satu bola, dan dicatat apakah putih atau kuning. Setelah dicatat, bola dimasukan kembali dan dikocok, kemudian dilanjutkan pengambilan satu bola lagi oleh teman disebelahnya.

Kali ini saya menggunakan komputer untuk mensimulasikan aktivitas ini, dan tebaklah berapa banyak bola kuning yang ada di dalam percobaan berikut.

1. Dengan p menyatakan bola putih dan k menyatakan bola kuning, misalkan hasil pengambilan 40 siswa pertama diperoleh

ppkppppkppppppppppkppppppkpppkppppppkpkp

dan gambar diagram baloknya adalah

gbr01

Kalau ini tidak memberikan penjelasan tentang banyaknya bola kuning, kita dapat meminta setiap siswa untuk sekali lagi mengambil satu bola dan mengembalikan lagi. Sehingga kita memperoleh 80 data.

ppkppppkppppppppppkppppppkpppkppppppkpkppppkppppppkkppppkkppppppkpppkpppppkppkpk

dan diagram baloknya adalah

gbr02

Berapa banyak bola kuning yang ada?

2.  Hal yang sama, dilakukan lagi simulasi yang sama. Inilah hasilnya untuk 40 siswa pertama

kpppkkpppppkpppkpppppkppkkppppkpkppkpppp

dan diagram baloknya adalah

gbr03

Sedangkan untuk 80 kali pengambilan, diperoleh

kpppkkpppppkpppkpppppkppkkppppkpkppkpppppkppppppppkkkkpkpppppkpppkpppkpkpppkkppp

dan diagram baloknya adalah

gbr04

3. Percobaan lain dengan jumlah bola kuning yang berbeda. Inilah hasil 40 kali pengambilan

kkkpkkkkkkpkpkkkpkkkkkkkpkkkkkkkkkkkkkkk

gbr05

Sedangkan 80 pengambilan diperoleh

kkkpkkkkkkpkpkkkpkkkkkkkpkkkkkkkkkkkkkkkpkkkkpkkkkkkkpkkkkkppkkpkkpkkkpkkkkkkkpk

dan diagram balok adalah

gbr06

Berapa banyak bola kuning yang ada?

Ini merupakan salah satu kegiatan yang ada di buku Matematika SMP saya dengan tema MADEP. Kegiatan lain dapat dibaca di buku tersebut.

gbr10

Sekarang, misalkan ada 10 bola dan beberapa di antara bola adalah bola kuning. Kemudian dengan cara yang sama, setiap siswa mengambil satu bola, dicatat dan dikembalikan lagi untuk dilanjutkan dengan siswa berikutnya.

1. Misalkan inilah hasilnya setelah 40 anak mengambil (tetapi sekali lagi saya hanya menggunakan komputer)

pppppppkpppppppppppppppppppkpppppppkpppp

dengan diagram baloknya adalah

gbr11

Dengan 80 anak (setiap anak mengambil dua kali)

pppppppkpppppppppppppppppppkpppppppkpppp

pppkpkppppkppppppppppppppppppppppppppppp

dan diagram baloknya adalah

gbr12

Berapa banyak bola kuningnya.

2. Misalkan inilah hasilnya setelah 40 anak mengambil (tetapi sekali lagi saya hanya menggunakan komputer)

ppppkpppppkpkkpkppkkpkppppppppppppkpppkp

dengan diagram baloknya adalah

gbr13

Dengan 80 anak (setiap anak mengambil dua kali)

ppppkpppppkpkkpkppkkpkppppppppppppkpppkp

ppppppkpppkppkppppkkppppkpppppkpppkppppp

dan diagram baloknya adalah

gbr14

Berapa banyak bola kuning yang ada?

3. Misalkan inilah hasilnya setelah 40 anak mengambil (tetapi sekali lagi saya hanya menggunakan komputer)

kkppppppkkppkpkppppppkpppppkkppppppkppp

dengan diagram baloknya adalah

gbr15

Dengan 80 anak (setiap anak mengambil dua kali)

kkppppppkkppkpkppppppkpppppkkppppppkpppp

kppkpppkkpkpppkppppppkkpkppkppppkpppkkpp

dan diagram baloknya adalah

gbr16

Berapa banyak bola kuning yang ada?

File Excel

Saya sudah membuat Simulasi dengan menggunakan file Excel. Bagi yang berminat, silahkan komen atau email, nanti saya kirimkan file Excel tersebut.

Soal Ujian yang sebaiknya dihindari

Tulisan saya kali ini berkaitan dengan melihat soal-soal Ujian nasional yang ada. Yang saya kemukakan disini saya pandang bukan merupakan kesalahan (hanya sekali muncul), tetapi beberapa kali muncul.  Ada beberapa hal yang perlu dicatat.

  1. Jangan menanyakan tentang definisi, khususnya definisi yang tidak tunggal di matematika.
    Misalkan saja, definisi tentang trapesium. Salah satu buku mendefinisikan trapesium sebagai segi empat dengan tepat satu pasang sisi sejajar. Dalam hal ini maka jajaran genjang tidak termasuk segi empat trapesium.
    Tetapi kita dapat saja mendefinisikan bahwa trapesium adalah segi empat yang mempunyai pasangan sisi yang sejajar. Berdasarkan ini, jajaran genjang juga merupakan trapesium.
  2. Menambahkan informasi hanya berdasarkan gambar. Seperti kita mengetahui bahwa persepsi mata dapat berbeda satu dengan yang lain. Lihat tulisan saya tentang https://wonosb.wordpress.com/2013/10/10/jangan-percaya-mata/
    Mungkin ada banyak orang yang melihat bahwa apapun posisi garis pendek, kedua garis horisontal berikut selalu sama panjang.mata
    Oleh karena itu soal-soal Ujian Nasional (2013) seperti hal berikut sebaiknya dihindari
    soalSD02
    Untuk siswa Sekolah Dasar, tentu memerlukan kenyataan bahwa dua tali busur lingkaran tersebut harus merupakan garis tengah dan memotong tegak lurus.
    Demikian pula dengan UN SMP 2013, soal berikut tentu memerlukan tambahan informasi
    UjianSMP03
    Informasi tambahan yang diperlukan antara lain, apakah bentuk segi empat tersebut persegi panjang, ukuran tentang daerah yang diarsir.Mungkin ada orang berpandangan, tanpa informasi tersebut tentu hal yang ditanyakan tak akan bisa dijawab. Atau orang berpandangan itulah matematika harus mengetahui yang harus ditambahkan.
    Menurut saya itu tidak benar. Cobalah lihat gambar sertifikat tanah anda. Atau gunakan google untuk melihat sertifikat tanah. Umumnya tanah berbentuk segi empat tetapi bukan merupakan persegi panjang. Apa yang diamati? Ukurannya hanya ada pada ke empat sisi segi empat tersebut! Tentu ini tidak mencukupi untuk dapat mengetahui luas tanah tersebut.Hal ini dapat diilustrasikan kepada anak dengan menggunakan gambar berikut atau empat korek api yang sama panjang. Itulah sebabnya kaki kursi yang berkaki empat perlu ditambahkan penghubung agar lebih kokoh.
    luas01
    Hal ini sering saya tanyakan di suatu seminar, guru selalu mencoba menjawab luas tanah tersebut dengan sedikit memaksa agar luas tanah dapat dihitung.
  3. Hal senada dengan nomor 2 adalah soal Ujian berikutUjianSMP
    Demikian pula dengan uraian di buku Kurikulum 2013 halaman 139 (SMP)Pages from Binder1 MAT bs 7 SPARASI-2

Pada kenyataannya, tentu barisan tidak hanya terdiri dari barisan aritmetika dan geometri saja.  Oleh karena itu agar Soal Ujian tersebut dapat dijawab, tambahkanlah kata barisan aritmetika. Bedakan soal matematika dengan soal di psikotest yang meminta hal yang paling umum ditemui

4.  Tulisan yang tidak sesuai dengan yang dimaksud. Sebagai contoh, pada soal berikut

SoalSD04

Karena pokok kalimat dari ” Setiap gelang…” adalah setiap gelang, maka keterangan sama banyak itu  manik-manik merah dan kuning sama banyak untuk satu gelang. Bukan antara gelang yang satu dengan yang lain. Demikian pula, apakah manik-manik yang tersedia itu dihabiskan (maksudnya tentu dihabiskan)

Saya baru menemukan lagi soal di buku SMP untuk Kurikulum 2013

soalkur2013

Di saat mendatang, tulisan ini akan di edit untuk mengumpulkan hal-hal yang perlu dihindari dalam pembuatan soal matematika.

Bohong … Matematika pun dapat menebak dengan benar.

Dalam berkomunikasi sering terjadi kesalahan. Demikian pula dengan komunikasi alat-alat modern tersebut. Untuk sederhananya, misalkan kita ingin mengirim 4 karakter yang terdiri dari 0 atau 1. Tetapi seringkali terjadi kesalahan. Kemudian dengan menambah karakter, diinginkan informasi yang perlu disampaikan harus benar. Masalah ini diselesaikan oleh Richard Hamming seorang matematikawan (1915-1998). Oleh karena itu penyelesaian masalah tersebut disebut sebagai Kode Hamming.

Untuk memberikan ilustrasi tentang kode Hamming, yang paling sederhana dimunculkan dalam bentuk permainan. Judul yang sesuai sebenarnya, bohong boleh dan matematika pun dapat menebaknya dengan benar. Bohong disini mengilustrasikan kesalahan dalam masalah sebenarnya.

Seperti kita mengetahui bahwa selain desimal (sistem bilangan puluhan),
sebenarnya kita dapat menggunakan sistem bilangan biner (sistem dengan basis
2). Setiap bilangan asli dapat dituliskan sebagai

a_{0}2^{0}+a_{1}2^{1}+a_{2}2^{2}+\ldots +a_{k}2^{k}
dengan a_{0},a_{1},a_{2},_{\ldots ,}a_{k} merupakan bilangan di 0 atau 1 dan k suatu bilangan asli. Sistem ini dipakai di komputer walaupun dengan dimodifikasi.

Untuk keperluan kita, misalkan bilangan 7 dapat dituliskan sebagai 7=1\times 2^0 +1 \times 2 + 1 \times 2^2. Sedangkan bilangan 10 dapat dituliskan sebagai 10=1 \times 2 + 1 \times 2^3. Saat saya masih kecil, kenyataan ini digunakan sebagai permainan tebak angka
(saya tidak mengetahui apakah masih ada). Pertama, kita meminta seseorang
untuk menebak dalam hati satu bilangan dari 1 sampai dengan 15, kemudian
kita akan  bertanya kepada penebak sebanyak 4 kali melalui 4 kartu berikut.

Pertanyaan pertama : apakah bilangan yang dipikirkan ada di kartu berikut?

Kartu_Page_1

Pertanyaan kedua : apakah bilangan yang dipikirkan ada di kartu berikut?

Kartu_Page_2

Pertanyaan ketiga : apakah bilangan yang dipikirkan ada di kartu berikut?

Kartu_Page_3

Pertanyaan keempat : apakah bilangan yang dipikirkan ada di kartu berikut?

Kartu_Page_4

Misalkan seorang menjawab bahwa bilangan yang dipilih hanya ada di kartu II
dan kartu IV, maka kita tinggal menjumlahkan angka pertama (angka yang
paling kecil) dari kartu ke II dan IV. Dalam hal ini masing-masing adalah 2
dan 8, maka bilangan yang ditebak adalah 10=2+8. Hal ini sesuai dengan penulisan angka 10=1 \times 2 + 1 \times 2^3 yaitu memuat 2^1 dan 2^3.

Contoh lain, misalkan seorang yang menebak angka 7 yaitu 7 =1 \times 2^0 +1 \times 2^1 +1 \times 2^2. Bilangan ini akan berada di kartu I,II dan III sesuai dengan uraian tersebut yang berada di kartu I (karena 2^0), di kartu II (karena 2^1 ), dan kartu ke III (karena 2^2).  Tentu akan menjawab ya pada kartu I,II dan III.

Permainan yang akan saya kemukakan disini, masih tetap sama, seseorang diminta untuk memilih di dalam hati, satu bilangan dari 1 sampai dengan 15. Tetapi saat ini, saat ditanya tentang bilangan pilihan, teman yang memilih dalam menjawab
ada atau tidak, boleh bohong tetapi hanya satu kali. Disini
bohongnya, jika bilangan yang dipilih ada pada suatu kartu, penebak boleh
menjawab dengan tidak ada. Sebaliknya, jika bilangan yang dipilih tidak ada
pada suatu kartu, penebak boleh menjawab dengan ada. Sebagai gantinya, penebak
akan ditanya tiga kali lagi, jadi ditanya sebanyak 7 kali.

Pertanyaan ke lima : apakah bilangan yang dipikirkan ada di kartu berikut?

Kartu_Page_5

Pertanyaan ke enam : apakah bilangan yang dipikirkan ada di kartu berikut?

Kartu_Page_6

Pertanyaan ke tujuh : apakah bilangan yang dipikirkan ada di kartu berikut?

Kartu_Page_7

Sekali lagi, dengan memilih satu bilangan dari 1 sampai dengan 15, dan menjawab apakah bilangan yang ditanya tersebut ada atau tidak di setiap 7 kartu
tersebut, boleh bohong sekali.  Saya akan menjawab bilangan yang dipilih tersebut.

Bagi yang penasaran, lakukan ini dengan menuliskan di Comment dengan memberikan  7 karakter yang terdiri dari a atau/dan t, a untuk ada dan t untuk tidak ada.
Jika anda menjawab dengan tidak ada untuk 4 kartu pertama, dan ada untuk
tiga kartu berikutnya, maka jawablah dengan ttttaaa. Saya akan reply
sesegera mungkin dan menjawab bilangan tebakan anda. Silahkan mencoba!

Jangan Percaya Mata

Setahun yang lalu, sebelum rencana Kurikulum 2013 dibuat, sebenarnya Puskurbuk
akan membuat buku. Untuk itu dikumpulkan beberapa penulis BSE yang terbaik.
Saya diminta untuk memberi bekal mengenai matematika. Salah satu hal yang saya
kemukakan adalah hal berikut (untuk memperbesar gambar, klik di gambar tersebut)

Pages from 219 fullbook_edit

Kesimpulan di buku tersebut menyatakan bahwa dua garis sejajar mempunyai gradien sama.

Saya katakan ada dua hal di uraian tersebut yang merupakan kesalahan dasar di matematika.

  1.  Pertama yaitu bagaimana kita mengetahui bahwa garis yang digambarkan merupakan garis-garis sejajar.
  2.  Kedua, bagaimana hubungan garis sejajar dan garis dengan gradien yang sama. Garis sejajar mempunyai gradien yang sama adalah hal yang harus diuji atau dibuktikan. Demikian pula sebaliknya, garis yang mempunyai gradien yang sama maka sejajar, juga merupakan hal yang harus dibuktikan.

Saat itu calon penulis tidak memberi komentar. Komentar datang dari salah satu
orang dari organisasi pemerintah yang mengatakan bahwa ulasan buku BSE
kurikulum sebelumnya tidak ada yang salah. Tulisan ini akan mencoba
menjelaskan mengapa dua hal tersebut merupakan kesalahan dasar di  matematika.

Di matematika kita tidak boleh mengambil suatu kesimpulan hanya karena sekedar
mata mengatakan demikian. Walaupun mata merupakan indera yang sangat penting.  Semua mahasiswa yang pernah kuliah dengan saya tentu
sudah sering mendengar perkataan saya, jangan percaya mata (tapi itu saya
sebutkan karena sering gagal menggambar garis lurus, he he he, jangan percaya
mata “ini garis lurus” sering saya gunakan).

Mengapa kita tidak dapat menyimpulan dengan mata.

  1. Apakah potongan dua garis berikut sama panjang? (Gambar hal 15 di Matematika SLTP 3A oleh Wono Setya Budhi, Muller-Lyer Illusion )

mata01

Lihat juga animasi berikut (klik di gambar tersebut)

mata

Apakah garis-garis berikut sejajar ?(Klik di gambar berikut) 

mata02

Satu hal penting di matematika, suatu kesimpulan di matematika selalu diambil hanya setelah definisi yang berkaitan dipenuhi atau hipotesa dari teorema yang berkaitan dipenuhi.

Dalam hal ini, kita akan menentukan apakah garis yang digambar merupakan garis
yang sejajar. Usaha pertama, sesuai dengan definisi garis sejajar, kita harus
memperpanjang garis tersebut terus menerus dan tetap tidak akan berpotongan.
Tetapi hal ini tidak mungkin dilakukan. (Baca juga tentang Aksioma Euclid,
tunggu tanggal mainnya!)

Usaha kedua, kita mengikuti yang dilakukan oleh Euclid. Untuk mengetahui
posisi dua garis, kita menggunakan garis ketiga. Misalkan kita mempunyai dua
garis m dan n. Untuk mengetahui posisi kedua garis, sejajar atau
berpotongan, kita menggunakan garis ketiga, misalkan p.

mata02

Jika sudut E dan F yang diberi tanda, mempunyai jumlah sudut kurang dari
180^{0}, maka garis m dan n akan berpotongan di sebelah kanan dari garis p. Kita tentu saja dapat menggunakan tentang sudut sepihak maupun hubungan dua sudut di E dan F untuk memutuskan apakah dua garis m dan n sejajar atau berpotongan. Sebagai catatan, dua garis di atas tidak sejajar (sengaja saya buat beda sedikit), tetapi mata kita mengatakan bahwa kedua garis sejajar.

Mengapa Gradien Dua Garis yang Sama, Maka Dua Garis Tersebut Sejajar

Misalkan diketahui dua garis m dan n mempunyai gradien yang sama.

mata03
Karena gradien kedua garis sama, maka jika dibuat ruas garis AD dan CE
yang masing-masing berada di sumbu X, dan mempunyai panjang satu. Kemudian dibuat garis tegak lurus terhadap sumbu X masing-masing melalui D dan E, akan memotong garis m dan n masing-masing di F dan G. Karena gradien garis m dan n, maka panjang DF=EG.

Jadi, pada segitiga ADF, panjang AD=1, DF=a (gradien garis m) dan \angle ADF=90^{0}.

Demikian pula segitiga CEG, panjang CF=1, FG=a
(gradien garis n) dan \angle CEG=90^{0}. Berdasarkan pemahaman membentuk segitiga, kedua segitiga tepat sama. Jadi AF=CG

Untuk melihat animasi, klik di gambar berikut

mata03

Selanjutnya, jika dibuat segiempat ACGF, maka segi empat tersebut merupakan
jajaran genjang. Berdasarkan hal ini, kita dapat menyimpulkan bahwa garis AF
sejajar CG. Ini semua dipelajari di kelas 7. Cara lain melihat ini dapat
dilihat di buku SMP saya jilid 2A hal 97.

Mengapa Garis Sejajar Mempunyai Gradien Sama 

Untuk sebaliknya, misalkan m dan n dua buah garis sejajar.

mata03
Selanjutnya, buat garis AD dan CE masing-masing mempunyai panjang 1. Buat garis tegak lurus terhadap sumbu X yang memotong garis m di titik F. Kemudian, tarik garis melalui F sejajar sumbu X, yang akan memotong garis n di titik G. Dengan demikian ACGF merupakan jajaran genjang. Jika GE merupakan garis tinggi jajaran genjang yang memalui G, maka GE=FD.

Dengan demikian gradien kedua garis sama besar.

Jika pelajaran mengenai gradien dua sejajar tidak dijelaskan kepada siswa, maka
pembelajaran tentang jajaran genjang dan masalah dua garis sejajar di kelas I
atau kelas 7 SMP menjadi tidak pernah terpakai dan tidak terasa kegunaannya
mengapa jajaran genjang harus dipelajari. Hal inilah yang merupakan salah satu hal yang disebut sebagai Connection di Standar NCTM.

Volume Bola

Pada umumnya volume bola dihitung dengan menggunakan integral atau sebagai mitos, tetapi sebenarnya ada cara yang sederhana dan cerdik (penemunya Cavalieri, lengkapnya lihat buku Matematika untuk SMP kelas IX Semester I halaman 90)

Matematika untuk SMP Kelas IX Semester 1 (Jilid 3A)

Untuk menghitung volume bola, kita menggunakan prinsip Cavalieri, yaitu sebagai berikut. Ambillah setumpuk kertas atau kartun seperti pada gambar berikut

kertas

Selanjutnya, setelah tertumpuk di bagian kiri, doronglah bagian atas sehingga diperoleh tumpukan miring seperti gambar di samping kanannya. Dua benda tersebut mempunyai tinggi yang sama, serta luas penampang (luas potongan) yang sama pada setiap tingkatnya. Mudah diterima bahwa kedua benda mempunyai volume yang sama.

Hal ini juga berlaku bagi luas benda (klik gambar berikut)

kertas01

Secara umum, prinsip tersebut mengatakan bahwa jika ada dua benda dengan tinggi yang sama dan ukuran luas penampang di setiap potongan mendatarnya juga sama besar, maka ukuran volume kedua benda adalah sama.

Dua selinder, yang pertama tegak dan yang lain miring, dengan tinggi sama dan luas potongan sama, akan mempunyai volume yang sama.

kertas02

Sekarang kita akan menggunakan prinsip tersebut untuk menghitung volume bola berjari-jari r. Untuk itu ambillah tabung tegak dengan tinggi 2r dan jari-jari tabung r. Perhatikan bahwa bola dan tabung ini mempunyai tinggi yang sama.

Selanjutnya, tabung tersebut dilubangi dengan dua kerucut dengan alas yang masing-masing berimpit dengan alas tabung dan tutup tabung. Tinggi masing-masing kerucut tersebut adalah r.

kertas03

Potongan bidang vertikal melalui pusat bola dan ujung kerucut akan tampak sebagai berikut

kertas04

Kedua benda jika dipotong dengan bidang horisontal pada ketinggian tertentu (maaf posisi terbalik antara bola dan selinder) (Klik di gambar tersebut)

bola

Sekarang, jika kedua benda dipotong dengan bidang yang berjarak b dari pusat bola (dan ujung kerucut), akan diperoleh masing-masing dengan bentuk

kertas05

Mudah dihitung bahwa luas kedua benda ini sama (lihat buku SMP oleh Wono Setya Budhi, kelas 3).

Berdasarkan prinsip Cavalieri, maka kedua benda yaitu bola dan tabung berlubang mempunyai volume yang sama yaitu

Volume bola= Volume tabung -2 x Volume kerucut

Lihat juga menghitung luas permukaan bola di buku Matematika untuk SMP kelas 3 oleh Wono Setya Budhi

Mulailah dari yang Sederhana

Masih ingatkah kita saat kuliah pelajaran matematika. Biasanya pengajar akan mulai menjelaskan suatu dalil dan kemudian membuktikan dalil tersebut. Pada saat itu, kita masih kosong dengan masalah yang dibahas.

Sekarang, saat saya mengajar, agak sedikit saya ganti. Saya mulai dengan hal yang sangat sederhana, dan langsung memberikan tugas yang berkaitan dan menyusun soal yang maju setiap langkah (lihat  https://wonosb.wordpress.com/2013/09/27/matematika-yang-menginspirasi/ ‎). Hal ini saya kembangkan pada buku SMP yang saya tulis (diterbitkan oleh penerbit Erlangga, Kurikulum 2006)

Matematika untuk SMP Kelas VIII Semester 2 (Jilid 2B)

Saya ingin memberi contoh, misalkan tentang gradien garis yang tegak lurus. Kita dapat saja membuktikan dengan menggunakan tangen atau rumus Pythagoras. Tetapi bahan tentang hal tersebut belum diajarkan. Materi tangen dibicarakan di tingkat SMA, sedangkan rumus Pythagoras berhubung sesuatu dan lain hal, oleh penyusun Kur 2006 ditulis di bab selanjutnya. Jadi belum dapat dipakai. Beberapa buku langsung menggunakan rumus Pythagoras dan titik potong dua garis.

Pada buku yang saya tulis, bukti dari hal tersebut cukup dengan menggunakan gambar berikut (hal 99 buku jilid 2A)

buku

Di bagian awal, saya cukup menggunakan garis dengan gradien tertentu, misalkan garis p dengan gradien 2. Dengan demikian, karena A(1,0), maka B(1,2).

Selanjutnya, jika garis diputar sebesar 90^0, maka akan diperoleh garis yang tegak lurus terhadap garis p. Dalam hal ini, titik A akan bergerak menuju ke titik A^\prime dan yang terpenting titik tersebut akan berada di sumbu Y. Sedangkan titik B akan tetap berada pada garis yaitu menjadi titik B^\prime.

Disini, sambil mempelajari tentang menentukan gradien, siswa dapat diminta untuk menentukan gradien garis l, yaitu -OA^\prime/A^\prime B^\prime. Siswa tentu akan bertanya tentang tanda negatif. Ada beberapa hal yang perlu dijelaskan, yaitu saat B^\prime bergerak ke O dimana koordinat pertama bertambah, tetapi koordinat kedua berkurang. Oleh karena itu garis tersebut mempunyai gradien negatif. Atau siswa sudah mengenali posisi garis seperti garis l mempunyai gradien negatif.

Selanjutnya, siswa langsung dapat membuat soal latihan, mulai dari mengulang penjelasan di atas dengan gradien yang berbeda.  Setelah ditanyakan beberapa hal yang rutin, siswa akan mampu membuktikan sendiri tentang garis tegak lurus. Rumus perkalian gradien dua garis tegak lurus tersebut saya berikan di soal dan harus dikerjakan oleh siswa sendiri. Pada bab Pythagoras, soal gradien ini dibuktikan kembali dengan menggunakan materi yang sedang dibahas.

Jika jaman dahulu, guru yang membuktikan, dengan cara di buku yang saya tulis, siswa secara aktif mengerjakan sendiri. Spirit dari buku tersebut adalah MaDEP (Mathematical Discovery, Exploration and Problem Solving, yaitu menemukan kembali fakta-fakta matematika, melalui eksplorasi dan penyelesaian masalah.

Matematika yang menginspirasi

Di buku Matematika yang dibuat oleh pemerintah yang akan digunakan pada Kurikulum 2013, di seksi pertama murid telah diberikan soal 1^{2001}+2^{2001}+\ldots +2001^{2001}. Soal ini tampak sangat berbeda dengan soal-soal di atasnya. Bagi guru yang biasa berkecimpung dengan Olimpiade Matematika, soal ini akan diselesaikan dengan menggunakan Teorema Fermat kecil. Untuk cara lain, lihat https://wonosb.wordpress.com/2013/09/27/2/ ‎

Saya menduga bahwa murid yang baru satu minggu berada di SMA akan sangat sulit mengerjakan soal tersebut. Lain halnya jika soal tersebut diberikan dalam bentuk eksplorasi. Karena masalah yang dibahas mengenai perpangkatan, alangkah baiknya jika siswa mencoba untuk menyelesaikan soal berikut

Selidiki apakah bilangan berikut habis dibagi 13.

1.  1^2+(13-1)^2

2. 1^3+(13-1)^3

3. 1^4+(13-1)^4

4. 1^5+(13-1)^5

5. 1^{100}+(13-1)^{100}

6. 1^{101}+(13-1)^{101}

Dengan mengerjakan soal 1 sampai dengan 4, siswa akan memperoleh sesuatu pengalaman dan akan digunakan pada saat mengerjakan soal nomor 5. Demikian pula nomor 6. Disini hal yang terpenting dari belajar matematika, pengalaman mengerjakan soal memberikan dampak untuk menyelesaikan soal yang lebih sulit.

Selanjutnya, mungkin diberikan soal seperti 2^n +(13-2)^n. Tentukan semua bilangan asli n sehingga bentuk tersebut habis dibagi 13. Tanamkan kepada siswa, jika menghadapi soal seperti ini coba selidiki untuk n kecil dan berdasarkan pola yang diperoleh, cobalah menduga untuk n besar atau yang lainnya.

Sampai disini saya percaya, bahwa lulusan SMP akan dapat menentukan apakah bentuk 1^{101}+2^{101}+\ldots +13^{101} habis dibagi 13.

Soal berikutnya, dapat dicoba untuk memberikan 14^{101}+15^{101}+\ldots +26^{101} apakah habis dibagi 13. Pada tahap ini ada sesuatu yang perlu dilakukan oleh anak, yaitu menuliskan 14=13+1, 15=13+2, \ldots.

Dengan cara di atas, anak tidak hanya mempelajari rumus, tetapi mereka belajar menggunakan pengalaman untuk satu langkah lebih maju dalam menyelesaikan suatu soal. Setelah mempunyai pengalaman seperti di atas, soal yang diberikan akan dapat diselesaikan oleh rata-rata anak, tanpa harus bertanya kepada orang lain.

Mungkin di kehidupan apa saja, anak tidak akan menggunakan ketrampilan untuk menentukan apakah 1^{2001}+2^{2001}+\ldots +2001^{2001} habis dibagi 13. Tetapi pengalaman menyusun mulai dari sederhana sampai kemudian dapat menyelesaikan masalah yang lebih sulit itu akan sangat berguna bagi kehidupan anak di kemudian hari.